量子化学与 DFT 基础

计算化学的出发点，是给定原子种类、电子数和几何排列，求出能量如何随结构改变。它不需要先为每一种化学键规定一根弹簧，而是尝试从电子的量子行为得到成键、排斥、磁性等结果。先回答三个问题：我们在求什么函数，求出的数有什么单位，以及哪些东西能与实验比较。

波函数不是电子绕核运动的轨道

对一个非相对论电子，空间状态可写成 ψ(r,t)。r 表示位置，t 表示时间；ψ 一般是复数，直接画出来的正负或颜色表示振幅与相位，不能理解为正电荷和负电荷。在小体积 d³r 内找到电子的概率为 |ψ(r,t)|²d³r，所以归一化条件是 ∫|ψ|²d³r = 1。三维归一化波函数的量纲是长度^−3/2，概率密度的量纲是长度⁻³；概率本身无量纲。

多个电子时，真正的波函数是 Ψ(x₁,x₂,…,x_N)，x 包含空间坐标和自旋变量，N 是电子数。它描述所有电子的联合状态，不能把每个电子想成携带姓名、沿固定路线运动的小球。实际计算中常见的“轨道”φᵢ，是构造近似多电子状态或辅助体系的单电子函数。轨道图有解释价值，却不是拍到的一条电子轨迹。

这是定态薛定谔方程：Ĥ 是能量算符，E 是本征能量，ℏ = h/(2π) 是约化普朗克常数，m_e 是电子质量，∇² 是对位置的二阶微分算符，V 是势能。若使用国际单位，位置用 m，V 与 E 用 J；不能把 Å 直接塞入只按 SI 常数编写的表达式。定态也不表示电子静止：时间部分为 exp(−iEt/ℏ)，其中 i² = −1；它使整体相位演化，而定态概率密度不随时间变化。

用一维盒子理解“允许的能量”

让电子局限在 0 < x < L 的理想区域：内部 V = 0，两端外部势能无限高。边界条件要求 ψ(0) = ψ(L) = 0，因此只能放下整数个半波。第 n 个定态为：

x 和 L 必须使用同一长度单位，n 是无量纲正整数。一维 ψ 的量纲是长度^−1/2。n = 0 会得到处处为零、无法归一化的函数，所以最低能量也不为零。盒子变窄，允许的空间变化更快，动能上升；这能帮助理解量子限域，但真实量子点还有有限势垒、有效质量、库仑作用与材料结构，不能直接套此公式预测其吸收光谱。

延伸学习：MIT 5.61：自由粒子与一维盒中粒子。

对水分子求一次电子能量，并不会自动得到它的平衡键长。你给出的 O—H 距离和键角，是这一次电子问题的外部条件；改变这些坐标，就得到另一个电子问题。把很多次结果连接起来，才出现“能量随结构变化”的势能面。

为什么能暂时固定原子核？

原子核通常比电子重得多，电子与核运动有不同的时间尺度。Born–Oppenheimer 近似把两者分开处理：在一组固定核坐标 R 下先解电子问题，再让核在相应电子态产生的势能面上运动。这里“固定”是求解一个电子步骤时的条件，并不否定分子的振动。常见基态 DFT 结构优化就是在此框架内进行。

R 代表全部核坐标，R_I 是第 I 个核的位置向量；E_elec 是固定核条件下电子能量，E_NN 是核间排斥能，E_BO 是总势能，单位可取 eV；力 F_I 的单位随坐标单位确定，若 R 用 Å，则力为 eV/Å。实际软件的“总能”通常已经包含核间作用，不能再手工加一次。本文单独拆开这些项是为了理解物理。

一次几何优化包含内外两层循环

1. 外层给定原子坐标和晶胞，内层自洽求电子状态。
2. 从已收敛电子态计算能量、原子力，以及任务需要的应力。
3. 优化器根据这些量提出下一组坐标或晶胞。
4. 重复，直到选定自由度的力、应力或能量变化满足标准。

内层没收敛时，外层拿到的力可能带明显噪声。此时盲目增加几何步数，好比沿着不断变化的地图找谷底。相反，即使每一步电子解都很精确，优化器也通常只找到初始结构附近的局部极小；从一个吸附位点开始，不会保证自行穿过高势垒找到另一个位点。

曲率、振动与过渡态

在平衡位置附近，能量可近似展开为二次函数。对一个有效振动坐标 q，可写 E(q) ≈ E₀ + ½κq²：κ 为力常数，若 q 用 Å，κ 用 eV/Ų。振动角频率满足 ω = √(κ/μ)，μ 为该模式的有效质量；使用此式时必须把能量、长度、质量换为一套一致单位。真正的分子振动来自质量加权 Hessian 矩阵的本征问题，Hessian 是能量对坐标的二阶导数矩阵。

若沿某方向曲率为负，则 ω² 为负，软件会把该方向标作“虚频”。分子基态极小点除平移、转动等零模外不应有真实不稳定模；一阶过渡态预期有一个反应方向的不稳定模。微小虚频也可能来自几何、力精度、超胞或声学和规则误差，要看振型和收敛趋势，不能看到一个负数就宣布材料不稳定。

Born–Oppenheimer 单势能面图像在电子态接近、交叉、强非绝热跃迁时需要扩展；光化学反应不能只用基态优化来代替激发态动力学。轻核的隧穿与零点振动也不是经典几何优化自动包含的内容。例如谐振子零点能为 ½ℏω，因此把电子能最低点叫作“包含一切热效应的实验能量”会造成误解。

延伸学习：MIT：Born–Oppenheimer 近似与变分法。实际结构优化输入见VASP 入门与结构任务，振动和路径问题见进阶任务。

氢原子的理想模型可以解析求解，多电子体系却因电子间相互作用而迅速复杂。实际算法往往分两次缩小问题：先规定允许怎样的多电子状态，再用有限个数学函数表示这些状态。前者是物理或波函数近似，后者是基组截断；二者不能混为一谈。

变分原理给出可操作的优化目标

Ĥ 是所选量子模型的厄米哈密顿算符，Ψ 是满足边界和粒子交换要求的非零试探波函数，E₀ 是同一哈密顿量的精确基态能量。括号代表对全部电子空间及自旋变量求内积，分母处理归一化。将 Ψ 展开成精确能量本征态时，平均能量是各本征值按非负概率加权的结果，因此不可能低于最低本征值。这也解释了为什么“增加表达能力、最小化能量”能逐步改进许多波函数方法。

但请留意“同一哈密顿量”与“真正最小化”这两个条件。换赝势、换泛函、换元素或电子数，就不再是上述简单上界比较。近似 DFT 泛函给出的总能也没有普遍的“必定高于真实能量”保证。甚至同一方法的计算若停在不同局部电子解上，也不能用基组更大来保证每一次得到的数字都单调变小。

基组把函数问题变成系数问题

χ_μ 是基函数，C_μi 是展开系数，φᵢ 是第 i 个轨道。H_μν = ⟨χ_μ|Ĥ_eff|χ_ν⟩ 为有效单电子哈密顿矩阵，S_μν = ⟨χ_μ|χ_ν⟩ 为重叠矩阵，ε 是轨道能量对角矩阵。若基函数归一化，S 无量纲，H 与 ε 使用能量单位；非正交基会出现 S，正交基则 S 为单位矩阵。

局域原子基组把函数放在原子附近，适合以分子轨道语言理解成键。双 ζ、三 ζ 表示更灵活的径向表达，极化函数让电子云能改变形状，弥散函数帮助描述空间上松散的电子分布。平面波则把周期函数展开成遍布晶胞的波，靠截断能系统增加分辨率。两者都只是表达函数的工具，不能把“Gaussian 型函数”与一种特定电子理论画等号，也不能认为周期计算一定只能用平面波。

Hartree–Fock 处理交换，但未处理全部关联

电子是费米子，交换两个电子坐标时多电子波函数必须反号。Hartree–Fock（HF）用一个由自旋轨道组成的 Slater 行列式满足反对称性，再变分优化轨道。电子在其他电子产生的平均场中运动；行列式产生交换项，使相同自旋电子的联合分布受到约束。交换不是两个小球交换位置的机械作用，也不能把 HF 说成“完全没有考虑电子间排斥”。

在相同非相对论哈密顿量与完备基组、基态语境下，通常把 E_corr = E_exact − E_HF 称为关联能，它非正。有限基组中也可定义相对于该基组 HF 的关联贡献，但必须说明范围。动态关联描述电子为了避开彼此而产生的细致联动；近简并或静态关联则要求多个电子组态共同描述，例如把 H₂ 拉得很远时，单个受限闭壳层行列式很难同时保持正确的两个中性原子极限。

增加基函数可以减少基组误差，却不会自动把单行列式 HF 变成精确多电子理论。MP2、组态相互作用、耦合簇、多参考方法等从不同方向加入关联，适用体系、费用与失效情形不同。理解这一层次，才能知道为什么有时“算得更久”只是更精确地求解了一个仍不合适的模型。

延伸学习：MIT 变分原理与矩阵形式、基组、电子关联。

一个 N 电子空间波函数依赖 3N 个空间变量，而电子密度 n(r) 只依赖三维位置。密度在某处表示单位体积内的平均电子数；对孤立体系在全空间积分，或对周期体系在一个晶胞积分，得到对应的电子数。常用单位是电子数/ų，电子电荷密度还要乘负的基本电荷。密度并不包含每个电子的身份标签。

“泛函”就是以函数为输入、以数为输出

普通函数 f(x) 把一个数变成另一个数；能量泛函 E[n] 把整个空间的密度分布变成一个能量值。基态 DFT 的思想是：在适当条件下，基态密度决定外势与体系的基态性质；精确基态能量可通过对允许的密度做变分得到。这个存在性结论并没有把实用的精确泛函直接交给我们，也不能把任意画出的密度都当作物理上允许的密度。

各项均是能量：T_s 为产生该密度的辅助非相互作用电子体系动能；v_ext 是核等外部来源给一个电子的势能；E_H 是密度的经典库仑能；E_xc 为交换关联能，包含真实与辅助动能之差及超出经典库仑的电子作用；E_NN 为核间排斥。交换关联项不是可有可无的“后加小修正”，它承担了关键的多电子物理。

Kohn–Sham 把密度问题改写成辅助轨道问题

这一式使用原子单位：ℏ、m_e 和基本电荷等相关常数组合取 1，长度单位为 bohr，能量单位为 Hartree。v_H 与 v_xc 分别是 Hartree 势与交换关联势；φᵢ 是归一化辅助轨道，εᵢ 是本征值，fᵢ 是占据数。若按空间轨道且不分自旋书写，fᵢ 可在 0 到 2 间；若 i 已包含自旋，最大为 1。周期体系还需把 k 点与其权重纳入求和。

密度决定有效势，有效势又决定轨道，轨道再产生密度，所以方程必须自洽求解。实际杂化泛函等常使用包含非局域算符的广义 Kohn–Sham 形式，不能把上面局域势公式当作所有实现的唯一形式。计算输出的总能也不是简单把所有占据轨道 εᵢ 相加：那会重复计入部分相互作用，并漏掉相应修正及核间能量。

选择泛函是在选择可检验的近似

这个表不是精度排行榜。更昂贵的方法也可能在某类反应、金属或强关联体系中表现不佳；不同近似的误差有时会抵消。应对自己的目标量做基准或交叉检验，不能为了贴合某个实验数而随意调 U，再把调参结果当作独立预测。

理论起点：Kohn 与 Sham（1965）；泛函类型见 VASP 交换关联泛函说明；能隙的概念边界见 Perdew 与 Levy（1983）。

求 Kohn–Sham 方程看起来像求矩阵本征值，但矩阵本身取决于尚未求出的电子密度。这是一个反馈问题：先猜密度，构造有效势，求轨道与能量，再根据轨道和占据得到新密度；当输入与输出足够一致时，才称为自洽。

自洽并不是把同一道方程无意义地重复

1. 初始化：例如叠加原子密度，或从兼容的上一计算读取电荷与波函数。
2. 求解当前有效问题：逐步优化轨道，得到所需数量的本征态。
3. 分配占据：满足电子总数，并采用与任务相适应的占据或展宽方式。
4. 构造新密度：检查能量和残差，再混合新旧信息，继续迭代。

这是帮助理解的简单线性混合式，j 是迭代次数，α 是无量纲混合比例，通常取 0 < α ≤ 1；n_in 与 n_out 分别是该轮输入和输出密度。VASP 的实际混合与预处理比此式复杂，但目的相同：避免新旧电荷分布来回过度纠正。长晶胞、金属表面和难处理的磁态容易出现“电荷振荡”，并非所有问题都能靠把最大电子步数加到很大解决。

可以用玩具映射 x_out = 1 − x_in 理解振荡：x 为无量纲标量，直接替换会在两个值间跳动，α = ½ 则一步到达固定点 ½。真实密度有许多空间模式，各自需要不同的数值处理；这个例子说明混合为何有用，并不是预测真实材料收敛速度的公式。

占据展宽与电子温度不是总能随意“抹平”

金属的费米能附近既有占据态又有空态，微小能级变化会改变占据，令 k 空间积分和自洽困难。展宽让占据在费米能附近平滑变化。费米–狄拉克形式为：

这里按单个自旋态计数，f 在 0 与 1 间；ε 是该态能量，μ 是电子化学势，T_e 是电子温度，k_BT_e 与 ε 使用相同能量单位。只有采用这种统计形式时，展宽参数才能直接作相应温度解释；高斯与 Methfessel–Paxton 展宽主要是数值积分工具。电子温度也不自动等于分子动力学里的离子温度。

在 VASP 中，ISMEAR 选择方式、SIGMA 给出 eV 宽度。较大的 SIGMA 有时更容易收敛，却可能改变目标能量、磁态与力；太小又可能要求很密的 k 网格。未知体系可从小宽度高斯展宽开始，并测试目标量。带隙体系不应机械照搬金属常用的正值 ISMEAR；四面体积分需合适的网格，也不是仅有 Γ 点时的通用选项。含展宽的自由能、去熵能与外推能有不同含义，比较时应坚持相同且合适的定义。

自旋是求解空间的一部分

共线自旋 DFT 分开处理 n↑ 与 n↓：总密度 n = n↑ + n↓，自旋密度差 m = n↑ − n↓。m 在这里按电子数/体积计，积分后乘以相应磁矩单位可讨论总自旋磁矩。没有净磁矩不等于处处没有磁性：反铁磁体系的不同位点可有相反局域磁矩，最后相互抵消。

ISPIN = 2 允许共线自旋极化；MAGMOM 给出初始局域磁矩并影响所保留的对称性，它并非把最终磁矩永久锁定。应按结构和化学可能性尝试多个铁磁、反铁磁或不同初始幅度，比较收敛后的能量与局域状态。若研究非共线磁性或自旋–轨道耦合，还需更完整的设置，不能只加一行 MAGMOM 就完成。

设置定义见 自洽循环、展宽方法、MAGMOM 与 EDIFF。遇到不收敛问题时，先按参数与诊断手册排查结构和方法，再调整算法。

周期计算不是拿一小块晶体悬在真空里，而是规定它沿晶格方向无限重复。晶胞中的原子、缺陷和吸附物也会被重复。因此“只放一个缺陷”通常表示每个超胞都有一个缺陷；增大超胞是在降低重复缺陷的浓度与相互影响，而不是改变同一个有限团簇的盒子边界。

先区分晶格与原子基元

a₁、a₂、a₃ 是三个晶格矢量，单位如 Å；nᵢ 是整数，R 是任一平移矢量。fᵢ 是某个原子的无量纲分数坐标，r 是其笛卡尔位置。原胞是最小平移重复单元，常规晶胞可能更便于显示对称性，超胞则由多个原胞组合而成。采用斜晶胞时，分数坐标的一维变化不等于沿笛卡尔 x、y 或 z 单独移动；查看 POSCAR 必须同时看晶格矢量。

倒空间记录波的空间变化，而非另一块实体晶体

bⱼ 是倒格矢，单位 Å⁻¹；δᵢⱼ 在 i = j 时为 1，否则为 0；hᵢ 是整数，G 为倒格矢组合。这里采用含 2π 的物理学约定，不应与某些晶体学工具不含 2π 的约定混用。对正交长度为 a 的方向，倒空间尺度为 2π/a，因此实空间重复长度变大，对应倒空间重复尺度变小。

周期势中的单电子解可取 Bloch 形式。它不是说波函数在相邻晶胞完全相同，而是说相邻晶胞可以差一个相位：

n 为能带编号，k 为 Bloch 波矢（Å⁻¹），r、R 用 Å，点积 k·r 无量纲；u 是具有晶格周期性的函数。k 的独立取值可限制到第一布里渊区。Γ 点就是 k = 0。晶体动量标签 ℏk 对理解平移对称性有用，但它不能直接当成电子在晶体内每一时刻的普通机械动量。

总能需要整个区域的积分，不是只取一条能带路径

A(k) 表示待积分的某个 k 相关量，Ω_BZ 是布里渊区体积（Å⁻³），w_k 是无量纲权重。规则 k 网格近似这项积分，晶体对称性可把等价点合并到不可约区，并相应增加权重。能带图沿 Γ—X 等高对称线采样，只展示少数方向，不能替代用于总能与密度的体积积分网格。

k 网格要求取决于倒空间变化速度。小原胞通常需要更多点；金属费米面附近变化快，常比相似尺寸的绝缘体更难收敛。对正交晶胞，沿实空间较长的方向一般可取较少点。非正交晶格还要兼顾倒格矢、网格中心与晶体对称性，不能把“长度倒数配比”当作所有晶系的严格规则。

理解超胞折叠也很重要：把相同理想晶体沿每个方向扩成两倍，布里渊区缩小，原来的一部分 k 信息会折叠到更多能带里。在兼容采样与相同数值条件下应能得到等价物理结果，但“任何大超胞都只需 Γ 点”并不成立，尤其是金属、较短方向及细小能量差问题。

参考实现：VASP KPOINTS 与网格对称性、布里渊区积分。能带与态密度工作流见电子结构任务。

经过 Bloch 定理，周期部分 u 可以用傅里叶级数表示。与用音符合成复杂声音类似，我们用不同空间频率的平面波合成轨道。高频分量能表达更细的空间变化，但保留更多分量会使计算更昂贵。

Ω 是晶胞体积，G 为倒格矢，n、k 仍表示能带与 Bloch 波矢，C 是展开系数；波函数上的波浪号提醒我们，这里可指 PAW 计算所优化的平滑辅助轨道。若 Ω 用 ų，归一化前因子的单位为 Å^−3/2。无限个 G 在计算机上不可行，因此按相应平面波的动能截断：

VASP 的 ENCUT 就是 E_cut，单位 eV。若波矢用 Å⁻¹，ℏ²/(2m_e) ≈ 3.80998 eV·Å²。提高 ENCUT 会扩大允许的波矢范围，提高空间分辨能力；它不是删除能量高于该值的实际电子，也不是允许计算多大带隙的上限。空带数量由另一类设置控制，和基函数数量不是一回事。

为什么不直接把核附近的剧烈变化全算进去？

靠近原子核时，价电子轨道受核与芯态正交条件影响，空间变化很快，直接用平面波表示需要大量高频分量。PAW（投影缀加波）用平滑辅助函数承担大范围表示，再在原子附近借助局域信息重建所需的全电子特征。它包含投影、局域部分波和补偿等处理，不能理解成只把核附近随意涂平后忽略误差。

VASP 常用 PAW 数据集还采用冻结芯近似：部分内层电子保持在生成数据时的芯态描述中，显式求解价电子。不同数据集可能把半芯电子纳入价层，或者采用不同的硬度与参考配置。因此“同一个元素”的两个 POTCAR 不一定具有相同电子数、能量基准和精度需求。应记录具体数据集标识、版本及价电子配置，比较能量差时保持相关物种的数据一致。

截断能、网格与晶胞为什么一起影响成本？

把可用波矢近似看成球内格点，在三维固定截断下，平面波数量大致随 ΩE_cut^3/2 增长。这是基组大小的尺度估计，不是总运行时间的严格公式；真正费用还受电子数、空带数、k 点、算法与并行方式影响。给孤立分子加真空虽然不增加原子，却增加晶胞体积和需要表示的空间，所以会明显增加内存与计算量。

实空间 FFT 网格负责在实空间和倒空间之间转换；PREC 等设置影响相关数值网格，不能认为只提高 ENCUT 就覆盖所有网格误差。对于应力和晶胞优化，有限基组随晶胞变化还会产生 Pulay 应力；总能看起来已经平稳，并不保证压力或体积同样达到所需精度。优化后再用统一且充分收敛的参数检查最终结构，有助于发现这类问题。

怎样做一次有意义的 ENCUT 测试？

固定结构、k 网格、电子方法和其他条件，选取跨越 POTCAR 推荐尺度的一组递增 ENCUT，记录目标能量差、力或应力。采用混合元素时，要留意其中要求最高的物种。最终阈值由性质需求决定，不是永远 400 eV 或 520 eV。若要比较不同体系的形成能或吸附能，应统一采用已对整组比较对象验证的显式截断设置，避免各自使用不同的隐含默认值。

进一步阅读：PAW 原理、ENCUT 定义、Pulay 应力。

第一份计算报告不应只有一张能带图和一个最低能量。真正需要回答的是：比较什么、用什么物理模型、数值误差有多大，以及目前证据能够支持多强的结论。把这些问题写清楚，比把所有参数调到最大更接近可靠研究。

至少分清四类误差

EDIFF 从 10⁻⁵ 改成 10⁻⁸ eV，主要收紧电子求解的停止标准，不会修复选错晶相或不适合的泛函。EDIFFG 为负值时按原子力范数判定几何停止，量纲相应为 eV/Å；能量变化小、力小和目标性质收敛是三个不同检查。实际任务还要确认对固定原子、晶胞与约束自由度的处理符合设定。

收敛的是目标性质，不是某个看起来很大的参数

先明确容许变化，例如希望区分相差约 0.1 eV 的吸附构型，可将数值精度目标定得显著小于该差值，再开展测试。下面是一组人为构造的教学数据，不是真实 VASP 计算结果，用于演示记录方法：

这只显示该玩具数据对截断趋于稳定，不能证明 k 点、覆盖度或泛函误差也小。下一步应固定足够的截断，测试 k 网格，再复核组合参数。若两个构型只差 0.003 eV，而收敛测试仍漂移 0.01 eV，就没有足够依据给出稳健的优劣排名。避免把输出很多小数位误当成结果有同样多位有效数字。

这里 E_slab+A 是吸附体系电子总能，E_slab 是相应清洁表面能，E_A 是采用明确参考态的吸附物能，单位 eV；按这个符号约定，负值表示相对于所选参考电子能更有利。必须写清每项结构、原子数、磁态和计算设置是否可比。电子吸附能不自动等于实验吸附自由能；零点能、熵、覆盖度、溶剂与电极条件可能都影响比较。

人工智能是在改变工作流，不是取消物理验证

一个常见方向是机器学习势：用高质量电子结构计算得到的能量、力、应力训练模型，让模型快速估计新结构的势能面及导数，从而扩展分子动力学可达到的时间和尺寸。主动学习会优先为不确定或新颖的结构补充第一性原理数据。这样，量子计算不再每一步都重新执行，但仍承担训练标签与校验依据。

需要同时问两层误差：模型是否逼近了训练所用 DFT，以及该 DFT 是否适合真实研究问题。对某个温度下的完美晶体训练良好，并不保证模型能描述熔化、断键、缺陷迁移或新元素。训练集与测试集若含大量相邻时间帧，可能因结构过于相似而得到乐观误差；按独立轨迹、不同结构和目标过程做验证更有意义。

AI 也可以筛选候选材料、建议反应路径或生成初始结构。生成结果首先是候选；通过 DFT 验证是计算证据；进一步的实验才回答它是否在指定条件下真实存在或发挥作用。写报告时使用“预测候选”“经某方法优化”“在某条件模拟”“实验观察”等明确措辞，比把各层结论都写成“发现高性能材料”更可复核。

带着这份检查表进入第一个 VASP 任务

1. 写一句要回答的科学问题，并确定具体可比较的目标量。
2. 列出结构来源、组成、电子数、周期边界、磁态与环境假设。
3. 记录软件版本、PAW 数据、泛函、所有关键输入与后处理定义。
4. 保留收敛数据、异常日志、失败尝试和最终输出，而非仅保留漂亮图。
5. 用合理的参照、备选构型或另一方法检查最关键的结论。

参考：几何停止条件、VASP 机器学习势理论、机器学习势验证建议。下一步进入VASP 入门与结构任务；也可回到课程路线选择专题。

正文为独立整理的学习说明。标签含义和版本差异以与你的程序版本对应的官方文档为准。

1. MIT 5.61 Lecture 5: Free Particle and Particle in a 1D Box
2. MIT 5.61: Born-Oppenheimer approximation and variational principle
3. MIT 5.61 Lecture 24: Matrix Mechanics and Variational Principle
4. MIT 5.61 Lecture 28: Basis Sets
5. MIT 5.61 Lecture 29: Electron Correlation
6. Kohn & Sham (1965): Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects
7. VASP Wiki: Exchange-correlation functionals
8. Perdew & Levy (1983): Physical Content of the Exact Kohn-Sham Orbital Energies
9. VASP Wiki: Self-consistency cycle
10. VASP Wiki: Smearing technique
11. VASP Wiki: MAGMOM
12. VASP Wiki: EDIFF
13. VASP Wiki: KPOINTS
14. VASP Wiki: Integrating over all orbitals
15. VASP Wiki: Projector-augmented-wave formalism
16. VASP Wiki: ENCUT
17. VASP Wiki: Pulay stress
18. VASP Wiki: EDIFFG
19. VASP Wiki: Machine learning force field theory
20. VASP Wiki: Best practices for machine-learned force fields